Matematika
Dari Wikipedia bahasa Indonesia,
ensiklopedia bebas
Euklides, matematikawan Yunani, abad ke-3
SM, seperti yang dilukiskan oleh Raffaello Sanzio di dalam detail ini dari
Sekolah Athena.[1]
Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά
- mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para
matematikawan mencari berbagai pola,[2][3] merumuskan konjektur baru, dan
membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan
definisi-definisi yang bersesuaian.[4]
Terdapat perselisihan tentang apakah
objek-objek matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau
hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut
matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang
penting".[5] Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh
hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan
sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6]
Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi,
matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian
sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika
praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis.
Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam
karya Euklides, Elemen. Matematika selalu berkembang, misalnya di Cina pada
tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga
zaman Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan
ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan
matematika yang berlanjut hingga kini.[7]
Kini, matematika digunakan di seluruh dunia
sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik,
kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika
terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke
bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika
baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang
sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan
juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan
matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun
penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata
seringkali ditemukan terkemudian.[8]Daftar isi
1 Etimologi
2 Sejarah
3 Ilham, matematika murni dan terapan, dan
estetika
4 Notasi, bahasa, dan kekakuan
5 Matematika sebagai ilmu pengetahuan
6 Bidang-bidang matematika
6.1 Besaran
6.2 Ruang
6.3 Perubahan
6.4 Struktur
6.5 Dasar dan filsafat
6.6 Matematika diskret
6.7 Matematika terapan
7 Lihat pula
8 Catatan
9 Referensi
10 Pranala luar
[sunting]
Etimologi
Kata "matematika" berasal dari
bahasa Yunani Kuno μάθημα (máthēma), yang berarti pengkajian, pembelajaran,
ilmu, yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi
"pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata
sifatnya adalah μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, atau
tekun belajar, yang lebih jauhnya berarti matematis. Secara khusus, μαθηματικὴ
τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), di dalam bahasa Latin ars mathematica, berarti seni
matematika.
Bentuk jamak sering dipakai di dalam bahasa
Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang
digunakan sebagai turunan bentuk tunggal la mathématique), merujuk pada bentuk
jamak bahasa Latin yang cenderung netral mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk
jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang dipakai Aristotle,
yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis".[9]
Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda mathematics mengambil bentuk
tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika
kerap kali disingkat sebagai math di Amerika Utara dan maths di tempat lain.
[sunting]
Sejarah
Sebuah quipu, yang dipakai oleh Inca untuk
mencatatkan bilangan.
Artikel utama untuk bagian ini adalah:
Sejarah matematika
Evolusi matematika dapat dipandang sebagai
sederetan abstraksi yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya
perluasan pokok masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak
binatang[10], adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk
(sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.
Selain mengetahui cara mencacah objek-objek
fisika, manusia prasejarah juga mengenali cara mencacah besaran abstrak,
seperti waktu — hari, musim, tahun. Aritmetika dasar (penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan pembagian) mengikuti secara alami.
Langkah selanjutnya memerlukan penulisan
atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal tali atau dawai bersimpul
yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem
bilangan ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama
diketahui ada di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah Mesir,
Lembaran Matematika Rhind.
Sistem bilangan Maya
Penggunaan terkuno matematika adalah di
dalam perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan dan
pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka
ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar,
dan geometri untuk penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan
konstruksi, dan astronomi.[11] Pengkajian matematika yang sistematis di dalam
kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300
SM.
Matematika sejak saat itu segera berkembang
luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan sains,
menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang
sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari
2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, "Banyaknya
makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data Mathematical Reviews sejak
1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75
ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar
karya di samudera ini berisi teorema matematika baru beserta
bukti-buktinya."[12]
[sunting]
Ilham, matematika murni dan terapan, dan
estetika
Sir
Isaac Newton (1643-1727), seorang penemu kalkulus infinitesimal.
Artikel utama untuk bagian ini adalah:
Keindahan matematika
Matematika muncul pada saat dihadapinya
masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau
perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam perdagangan,
pengukuran tanah, dan kemudian astronomi; kini, semua ilmu pengetahuan
menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak
masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang
fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan
paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori dawai masa kini, teori
ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat gaya dasar
alami, terus saja mengilhami matematika baru.[13] Beberapa matematika hanya
bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk
memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika
diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak
wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika.
Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih
menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang Eugene Wigner memanggilnya
sebagai "Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan
Alam".[14]
Seperti di sebagian besar wilayah
pengkajian, ledakan pengetahuan di zaman ilmiah telah mengarah pada
pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara
matematika murni dan matematika terapan: sebagian besar matematikawan
memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang
pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program sarjana mereka. Beberapa wilayah
matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di
luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk
statistika, riset operasi, dan ilmu komputer.
Mereka yang berminat kepada matematika
seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak
matematikawan berbicara tentang keanggunan matematika, estetika yang tersirat,
dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat
keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal
bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya bilangan prima, dan
di dalam metode numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi
Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam A Mathematician's Apology mengungkapkan
keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk
mendukung pengkajian matematika murni.[15] Para matematikawan sering bekerja
keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős
sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "Alkitab" di mana
Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.[16][17] Kepopularan matematika
rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang
mampu memecahkan soal-soal matematika.
[sunting]
Notasi, bahasa, dan kekakuan
Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan
yang terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa
Artikel utama untuk bagian ini adalah:
Notasi matematika
Sebagian besar notasi matematika yang
digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.[18] Pada abad ke-18,
Euler bertanggung jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini. Notasi
modern membuat matematika lebih mudah bagi para profesional, tetapi para pemula
sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan yang
amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya. Seperti notasi musik,
notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan
informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.
Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar
bagi para pemula. Kata-kata seperti atau dan hanya memiliki arti yang lebih
presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal
terbuka dan lapangan memberikan arti khusus matematika. Jargon matematika
termasuk istilah-istilah teknis semisal homomorfisme dan terintegralkan. Tetapi
ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan
presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan
menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "kaku" (rigor).
Lambang ketakhinggaan ∞ di dalam beberapa gaya
sajian.
Kaku secara mendasar adalah tentang bukti
matematika. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma
dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "teorema"
yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh
pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.[19] Tingkat kekakuan diharapkan di
dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: bangsa Yunani
menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan
Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang
digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti
formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi
tentang bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah sukar
diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.[20]
Aksioma menurut pemikiran tradisional
adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi
konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah
seutas dawai lambang, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua
rumus yang terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah tujuan program Hilbert
untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi
menurut Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat)
memiliki rumus-rumus yang tidak dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatu
aksiomatisasi terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian,
matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecuali
teori himpunan di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap
pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori
himpunan.[21]
[sunting]
Matematika sebagai ilmu pengetahuan
Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya
sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika
sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".
Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika
sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".[22] Di dalam bahasa aslinya,
Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der
Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan berarti
(lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan
tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu
pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan alam
adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya
terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika
murni, bukanlah ilmu pengetahuan. Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh
hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti;
dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6]
Banyak filsuf yakin bahwa matematika
tidaklah terpalsukan berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu
pengetahuan per definisi Karl Popper.[23] Tetapi, di dalam karya penting tahun
1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi
menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori
matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif: oleh
karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang
hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal
yang baru."[24] Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah
menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.
Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa
lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) adalah matematika
dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan
kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman, mengajukan
pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah pengetahuan umum dan dengan demikian
matematika termasuk di dalamnya.[25] Di beberapa kasus, matematika banyak
saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian
dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. Intuisi dan percobaan juga berperan
penting di dalam perumusan konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun
di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya). Matematika percobaan terus bertumbuh
kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan
simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan,
maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan
metode ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 A New Kind of
Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk
digali secara empirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya
sendiri.
Pendapat-pendapat para matematikawan
terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk
menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan
kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal
tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu
pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa
antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan
rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika. Satu jalan
yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan
filsafat apakah matematika diciptakan (seperti di dalam seni) atau ditemukan
(seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi
ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen Ilmu Pengetahuan dan
Matematika, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu
tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran
praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan
pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah
satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam filsafat matematika.
Penghargaan matematika umumnya dipelihara
supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan
yang adiluhung di dalam matematika adalah Fields Medal (medali
lapangan),[26][27] dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat
tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu
pengetahuan. Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa
prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel,
diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa
pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang
mapan. Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah terbuka, yang disebut
"masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David
Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan,
dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan. Sebuah
daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Hadiah
Milenium", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini
berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang mengalami
penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.
[sunting]
Bidang-bidang matematika
Sebuah sempoa, alat hitung sederhana yang
dipakai sejak zaman kuno.
Disiplin-disiplin utama di dalam matematika
pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk
memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal
peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan
pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur,
ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis).
Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan
untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan
lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka
macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke
pengkajian kaku akan ketakpastian.
[sunting]
Besaran
Pengkajian besaran dimulakan dengan
bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan")
dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam
aritmetika. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam
teori bilangan, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema
Terakhir Fermat. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan:
konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.
Karena sistem bilangan dikembangkan lebih
jauh, bilangan bulat diakui sebagai himpunan bagian dari bilangan rasional
("pecahan"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam bilangan
real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real
diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang
bilangan yang beranjak menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap
bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan konsep
pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang
mengarah pada bilangan kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan
lainnya: bilangan aleph, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran
himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.
Bilangan asli Bilangan bulat Bilangan
rasional Bilangan real Bilangan kompleks
[sunting]
Ruang
Pengkajian ruang bermula dengan geometri –
khususnya, geometri euclid. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan
mencakupi Teorema pitagoras yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang
memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih
tinggi, geometri tak-euclid (yang berperan penting di dalam relativitas umum)
dan topologi. Besaran dan ruang berperan penting di dalam geometri analitik,
geometri diferensial, dan geometri aljabar. Di dalam geometri diferensial
terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan. Di dalam geometri
aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian
persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga
pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa
dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak
percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika
abad ke-20, dan menyertakan konjektur poincaré yang telah lama ada dan teorema
empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan
belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.
Geometri Trigonometri Geometri diferensial Topologi Geometri
fraktal
[sunting]
Perubahan
Memahami dan menjelaskan perubahan adalah
tema biasa di dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus telah berkembang
sebagai alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya. Fungsi-fungsi muncul di
sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian
kaku tentang bilangan real dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai
analisis real, dengan analisis kompleks lapangan yang setara untuk bilangan
kompleks. Hipotesis Riemann, salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di
dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. Analisis fungsional
memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu
dari banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum. Banyak masalah
secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan
ini dikaji sebagai persamaan diferensial. Banyak gejala di alam dapat
dijelaskan menggunakan sistem dinamika; teori kekacauan mempertepat jalan-jalan
di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih saja
belum terdugakan.
Kalkulus Kalkulus
vektor Persamaan diferensial Sistem dinamika Teori chaos Analisis
kompleks
[sunting]
Struktur
Banyak objek matematika, semisal himpunan
bilangan dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural
objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan
sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah
lapangan aljabar abstrak. Sebuah konsep penting di sini yakni vektor, diperumum
menjadi ruang vektor, dan dikaji di dalam aljabar linear. Pengkajian vektor
memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. Kalkulus
vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan.
Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi.
Sejumlah masalah kuno tentang Kompas dan konstruksi garis lurus akhirnya
terpecahkan oleh Teori galois.
Teori bilangan Aljabar abstrak Teori grup Teori orde
[sunting]
Dasar dan filsafat
Untuk memeriksa dasar-dasar matematika,
lapangan logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori
yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan
pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada dasawarsa
1900-an sampai 1930-an.[28] Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar
matematika berlanjut hingga kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang
sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan Cantor dan
kontroversi Brouwer-Hilbert.
Logika matematika diperhatikan dengan
meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan
mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi
Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia
logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu sistem formal yang berisi
aritmetika dasar, jika suara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan
adalah benar), maka tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak
dapat dibuktikan di dalam sistem itu). Gödel menunjukkan cara mengonstruksi,
sembarang kumpulan aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan
formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik,
tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem
formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika
modern dibagi ke dalam teori rekursi, teori model, dan teori pembuktian, dan
terpaut dekat dengan ilmu komputer teoretis.
Logika matematika Teori himpunan Teori
kategori
[sunting]
Matematika diskret
Matematika diskret adalah nama lazim untuk
lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini
menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori
informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model
teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - Mesin turing.
Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa
masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal
menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan
dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer. Pamungkas, teori informasi
memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang
diberikan, dan oleh karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan
dan entropi.
Sebagai lapangan yang relatif baru,
matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling
terkenal adalah masalah "P=NP?", salah satu Masalah Hadiah
Milenium.[29]
Kombinatorika Teori komputasi Kriptografi Teori graf
[sunting]
Matematika terapan
Matematika terapan berkenaan dengan
penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di
dalam ilmu pengetahuan, bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di
dalam matematika terapan adalah statistika, yang menggunakan teori peluang
sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana
peluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian
pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan, tidak
menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok
sekutu.) Analisis numerik menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan
masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi
kapasitas numerik manusia; analisis numerik melibatkan pengkajian galat
pemotongan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar